Nous verrons ici comment calculer l'autonomie d'un système électrique (DC) alimenté par des batteries.

Nous aurons besoin ici d'expliquer brièvement certains concepts d'électricité (en courant continu, DC).

L'électricité est en réalité un phénomène physique, à savoir le déplacement de particules chargées (généralement des électrons) au sein d'un matériau conducteur. Ce phénomène véhicule une énergie qui peut être exploitée par des appareils et dispositifs électriques. L'électricité peut être quantifiée via deux grandeurs physiques fondamentales : la tension (les volts) et l'intensité (les ampères). De ces deux grandeurs fondamentales nous dériverons une troisième grandeur fondamentale, avec la puissance (les watts).

Notre dispositif consommateur de courant à donc besoin d'une source de courant pour fonctionner. Mais généralement il a besoin d'une source ayant des caractéristiques bien précises. En effet, il aura une tension de fonctionnement, et demandera une certaine intensité de courant. Notre appareil fonctionnera donc en X volts, et consommera Y ampères. On peut alors calculer la puissance instantanée qu'il consomme avec le produit P=U*I, ici U=X, I=Y, donc notre dispositif utilise X*Y watts.

Considérons tout d'abord le cas général, avant de passer à un cas pratique. Nous disposons d'une batterie B, fournissant une tension nominale de U1 volts, et d'une capacité de I1 Ah. Nous souhaitons alimenter un dispositif fonctionnant à une tension de U2 volts, et consommant I2 A. Si les deux tensions sont identiques, alors c'est simple, puisqu'il suffira de diviser la capacité en Ah de la batterie par la consommation en A du dispositif, pour obtenir la durée de fonctionnement en heures. Ainsi on obtient ceci : si U1=U2: T=I1/I2, avec T étant la durée de fonctionnement prévisible, en heures.

Seulement, généralement, les tensions diffèrent. Dans ce cas, il faudra trouver une grandeur commune aux deux qui nous permette de faire le calcul. Nous allons donc calculer la capacité de la batterie en Wh, toujours avec P1=U1*I1. On sait donc que notre batterie peut fournir P1 Watts pendant une heure.

Calculons maintenant la puissance du dispositif à alimenter : P2=U2*I2, en Watts. Pour obtenir la durée de fonctionnement, on pourra alors effectuer la division : T=P1/P2.

On peut donc généraliser la formule comme suit : T=(U1*I1)/(U2*I2).

Cela nous permet ainsi de calculer la durée en heures. Cependant, en pratique, les deux tensions étant différentes, il nous faudra un régulateur de tension pour fournir la bonne tension au consommateur depuis la tension produite par la batterie. Malheureusement, ces composants ne sont pas parfaits, et une partie de l’énergie qui transite en eux est perdue en chaleur. On appelle efficacité le pourcentage de l'énergie fournie au régulateur en entrée qu'il restituera en sortie. Si par exemple on dispose d'un régulateur ayant une efficacité de 50%, s'il reçoit 10W en entrée, il n'en fournira que 5 en sortie. Ce qui signifie que si le consommateur nécessite 10W, il faudra fournir le double au régulateur, à savoir 20W.

Comme on peut le voir, cela jouera sur l'autonomie de notre système. Si celui ci dispose d'une efficacité de E%, cela signifie qu'il fournira en sortie E/100*Pe, ou Pe est la puissance fournie en entrée. On calcule donc que pour alimenter un dispositif requérant une puissance Pr, il faudra une puissance d'entrée Pe égale à : Pe=100/E*Pr. Avec un régulateur ayant 50% efficacité, il faudra donc par exemple 100/50=2x la puissance requise.

On ajuste donc la formule précédente : T=(U1*I1)/(U2*I2*100/E)

Partons sur le cas d'un raspberry pi 2. Comme tous les autres modèles, celui ci est alimenté en 5V. En revanche, sa consommation est différente, supérieure à celle d'un B+ et logiquement d'un A+. RaspiTv a réalisé des tests poussés de consommation accessibles en suivant ce lien.

En pratique, cela donne les résultats suivants :

• au repos : 230 mA;
• charge légère : 290-310 mA;
• charge moyenne : 350 mA;
• charge importante : 400 mA (2 cœurs à fond);
• charge maximale : 500 mA (les 4 cœurs à fond).

Étudions donc l'autonomie que nous pouvons atteindre avec un Raspberry Pi 2. Nous disposons donc d'un dispositif en 5V, et de sa consommation selon divers scénarios. Calculons donc la puissance requise, toujours avec P=U*I. Ici la consommation est en milliampères, donc on divisera au préalable par 1000. Par exemple au repos I=230mA, soit 0.23mA. On a donc P= 5*0.23=1.15W. On obtient donc les valeurs suivantes :

• au repos : 1.15W;
• charge légère : 1.45-1.55 W;
• charge moyenne : 1.75W;
• charge importante (2 cœurs à fond) : 2W;
• charge maximale (les 4 cœurs à fond) : 2.5W.

Si nous utilisons une batterie lithium-ion ou lithium polymère, celle ci dispose d'une tension nominale de 3.7V, et d'une capacité de X mAh. On peut calculer sa capacité en Wh en faisant donc le produit U*I et on obtient E=3.7*X/1000 Wh.

Comme pour le modèle théorique, il nous faut un régulateur de tension pour convertir la tension de 3.7V de la batterie en 5V pour le Raspberry pi, et il faudra donc prendre en compte les pertes engendrées par ce régulateur. Puisque nous pensons à une application mobile, nous choisirons un régulateur efficace. Cela exclut d'office les régulateurs linéaires comme le LM7805. Ce modèle n'est pas capable de réguler une tension à la hausse, mais en plus gaspille une partie importante de l'énergie en chaleur. Nous utiliserons plutôt un régulateur à découpage, à l'efficacité généralement plus importante. Prenons par exemple le régulateur U1V11F5 de pololu, qui est un régulateur dit step-up (conversion de tension à la hausse), produisant du 5V et capable de fournir 1A. Voyons ici sa courbe d'efficacité :

Analysons la courbe rose, qui est la plus proche de notre tension d'entrée, avec 3.3V (contre 3.7V dans notre cas). Si on analyse les courbes, on constate que plus la tension d'entrée est proche de la tension de sortie, plus l'efficacité est importante. On peut donc s'attendre à faire légèrement mieux en pratique que dans nos calculs. Toutefois, il est préférable de sous-évaluer notre autonomie que le contraire. Entre 150 et 350mA l'efficacité est d'environ 85%. Au delà de 350mA on est aux alentours de 90%, au moins jusqu'à 500mA (notre consommation maximale). Partons donc sur la valeur basse, 85% (ainsi on sous-évalue notre autonomie, et encore une fois soit on obtient la bonne valeur, soit on a un peu plus d'autonomie en pratique).

Ainsi, pour fournir un courant donné, le régulateur consommera plus, d'un facteur de 100/85 soit un peu moins de 1.18 fois plus.

On obtient donc en pratique la consommation réelle selon les cas ci dessous :

• au repos : 1.36W;
• charge légère : 1.71-1.83 W;
• charge moyenne : 2.07W;
• charge importante (2 cœurs à fond) : 2.5W;
• charge maximale (les 4 cœurs à fond) : 2.95W.

On peut alors calculer l'autonomie T du système en reprenant la formule déterminée plus haut, dépendant de l'énergie Eb stockée dans la batterie et de la puissance réelle Pr utilisée par le Raspberry pi : T=Eb/Pr.

Pour une batterie Lipo Circulaire 16650 de 2.6Ah, on a obtient Eb= 2.6*3.7=9.62Wh. Cela donne les autonomies suivantes:

• au repos : 7h04;
• charge légère : 5h37-5h15;
• charge moyenne : 4h38;
• charge importante (2 cœurs à fond) : 3h50;
• charge maximale (les 4 cœurs à fond) : 3h15.

Pour une batterie Lipo Circulaire 16650 de 3Ah, on a obtient Eb= 3*3.7=11.1Wh. Cela donne les autonomies suivantes:

• au repos : 8h09;
• charge légère : 6h30-6h04;
• charge moyenne : 5h21;
• charge importante (2 cœurs à fond) : 4h26;
• charge maximale (les 4 cœurs à fond) : 3h45.

Pour une batterie Lipo de 6.6Ah, on a obtient Eb= 6.6*3.7=24.42Wh. Cela donne les autonomies suivantes:

• au repos : 17h57;
• charge légère : 14h16-13h20;
• charge moyenne : 11h47;
• charge importante (2 cœurs à fond) : 9h46;
• charge maximale (les 4 cœurs à fond) : 8h16.

Pour une batterie Lipo de 12Ah, on a obtient Eb= 12*3.7=44.4Wh. Cela donne les autonomies suivantes:

• au repos : 32h38;
• charge légère : 25h58-24h15;
• charge moyenne : 21h26;
• charge importante (2 cœurs à fond) : 17h45;
• charge maximale (les 4 cœurs à fond) : 15h03.